Математик доказал невозможность спрятаться за зеркалами полностью
|
Чтобы спрятать тело, можно окружить его зеркальными поверхностями, однако полной невидимости таким образом достичь не удастся.
Российский математик из Института проблем передачи информации ввел «индекс видимости» тела в такой системе и получил для него оценку снизу, оказавшуюся отличной от нуля. Работа опубликована в журнале Proceedings of the Royal Society A.
Обычные зеркала намного проще в изготовлении и использовании, чем гипотетические метаматериалы или линзы с переменным коэффициентом преломления, поэтому интересно, нельзя ли спрятать объекты с их помощью. Оказывается, в трех измерениях существуют системы, которые невидимы в трех направлениях, а для двух измерений можно сконструировать зеркальное тело, которое будет невидимым в n направлениях, где n произвольно.
Тем не менее, существуют ограничения на возможность создания системы зеркал, полностью скрывающей тело.
Таким образом, в реальности полной невидимости обычно сложно добиться. В таких случаях хотелось бы обеспечить хотя бы частичную невидимость (маскировку), которая не делает обнаружение объекта полностью невозможным, но сильно его осложняет. Чтобы исследовать эту задачу математически, необходимо строго определить индекс видимости, показывающий, насколько эффективно мы спрятали тело. В своей работе математик вводит такой индекс и исследует его свойства.
В статье автор пользуется следующими предположениями. Он рассматривает тело D с кусочно-гладкой отражающей поверхностью, помещенное в Евклидово пространство с размерностью d ≥ 2. Все лучи испускаются и регистрируются на сфере радиуса R, окружающей заданное тело. Отражение происходит по законам геометрической оптики, то есть систему можно рассматривать как биллиард в ℝd\D.
Сначала автор доказал теорему, утверждающую, что для тела, помещающегося в шар радиуса r (само собой, r ≤ R), можно получить оценку снизу на индекс видимости. Эта оценка зависит от отношения объема тела к степени радиуса rd (будем называть это для удобства относительным объемом), в общем случае зависимость является степенной. Доказательство проводилось путем последовательной оценки интегралов и преобразованием их к более удобному виду с помощью вращений.
Затем математик рассмотрел частный случай функции f (f = 1 — cosθ) и нашел более строгие оценки для размерностей d = 2, 3. Оказалось, что в обоих случаях нижняя граница индекса видимости пропорциональна второй степени относительного объема. Используя неравенство Юнга (подраздел 2.6 в статье), результаты можно переписать в более удобных терминах диаметра тела.