Правда некоторые математики мирового уровня утверждают, что автор, предложивший доказательство легендарной задачи теории чисел, не смог устранить основную ошибку в решении этой проблемы теории чисел. Однако редакторы журнала, готовящего публикацию, надеются, что с годами его идею все же поймут.

После восьми лет титанических усилий японский математик Синъити Мотидзуки (Shinichi Mochizuki), критикуемый многими экспертами, получил, наконец, некоторое признание. Его 600-страничное доказательство так называемой abc-гипотезы — одной из главных нерешенных проблем теории чисел — было принято к публикации.

Принятие работы Мотидзуки к публикации в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences («Публикации Научно-исследовательского института математических наук», RIMS), — это финальная точка, поставленная в длительной и острой полемике вокруг доказательства, предложенного японским математиком. Этот журнал, главным редактором которого является сам Мотидзуки, издается Научно-исследовательским институтом математических наук (RIMS) при Киотском университете (Япония), где и работает автор.

Два представителя RIMS, математики Масаки Касивара (Masaki Kashiwara) и Акио Тамагава (Akio Tamagawa), выступая на японском языке, объявили об этой публикации на пресс-конференции 3 апреля в Киото. По словам Касивара, эта научная работа «вызовет большой резонанс». На вопрос о том, как сам автор работы — Мотидзуки — воспринял известие о том, что его статья появится в журнале, Касивара ответил: «Думаю, со вздохом облегчения».

Сам же Мотидзуки, который несколько лет отказывался давать интервью, и на этот раз на пресс-конференции не появился.

Еще восемь лет назад Мотидзуки опубликовал в интернете четыре статьи большого объема, где заявил, что ему наконец удалось окончательно разобраться с abc-гипотезой. Его статьи озадачили математиков, которые на протяжении долгих лет пытались найти решение этой трудной задачи. Затем, в 2018 году два очень уважаемых математика уверенно заявил, что им удалось найти ошибку в доказательстве Мотидзуки. И многие тогда решили, что по претензиям Мотидзуки был, наконец, нанесен сокрушительный удар.

Недавний анонс публикации статьи Мотидзуки, похоже, вряд ли заставит многих ученых перейти в лагерь его сторонников. «Я думаю, можно с уверенностью сказать, что с 2018 года мнения математического сообщества не претерпели существенных изменений», — заявил Киран Кедлайя (Kiran Kedlaya), специалист по теории чисел из Калифорнийского университета в Сан-Диего. Кедлайя был одним из экспертов, которые потратили немало сил на проверку доказательства Мотидзуки. Другой математик, Эдвард Френкель (Edward Frenkel) из Калифорнийского университета в Беркли, ответил так: «Я не буду судить об этой работе до тех пор, пока ее не опубликуют, ведь в тексте может появиться какая-то новая информация».

Нерешенная задача

Так называемая abc-гипотеза устанавливает фундаментальную связь между сложением и умножением целых чисел. Как известно, любое целое число может быть единственным образом разложено на простые множители, то есть на его «делители», например: 60 = 5×3 x 2×2. Грубо говоря, abc-гипотеза утверждает примерно следующее: если имеется много простых множителей у двух чисел «a» и «b», то их будет не очень много у значения суммы этих чисел — числа «c».

Доказательство abc-гипотезы, в случае его подтверждения, может оказать сильное влияние на всю теорию чисел. Тогда у нас появится новаторский подход, например, к доказательству легендарной теоремы Ферма, сформулированной Пьером де Ферма в 1637 году и доказанной только в 1994 году. 

Итак, вся эта история началась 30 августа 2012 года, когда известный специалист в области теории чисел Синъити Мотидзуки опубликовал статью в интернете, — правда, не на arXiv.org, куда математики любят отсылать свои статьи, а на собственной веб-странице в RIMS. Его статьи, написанные малопонятным и своеобразным стилем, казалось, полностью опираются на математические понятия, которые совершенно незнакомы сообществу математиков, — «как будто читаешь статью, присланную из будущего или из далекого космоса», писал Джордан Элленберг (Jordan Ellenberg), специалист по теории чисел из университета Висконсин-Мэдисон, в своем блоге вскоре после появления статей японского ученого.

Мотидзуки отклонил все поступившие из-за границы приглашения о том, чтобы прочитать лекции о своих исследованиях. Несмотря на то, что некоторые из его близких сотрудников заявляли о том, что доказательство Мотидзуки корректное, математики во всем мире пытались (зачастую с долей скепсиса) хоть как-то понять это доказательство, не говоря уж о том, чтобы проверить его. В последующие годы по этой теме проводились конференции, участники которых сообщили даже о частичном понимании доказательства. И все же, по их мнению, потребуется еще много лет, чтобы сделать окончательные выводы. Многие математики, в том числе Герд Фальтингс (Gerd Faltings), который консультировал Мотидзуки по докторской диссертации, открыто раскритиковали японского ученого за то, что он не потрудился дать более ясное представление о своих идеях.

Через некоторое время, 16 декабря 2017 года, японская газета «Асахи» заявила о том, что в скором времени мы все-таки убедимся в правильности доказательства Мотидзуки, и что это достижение можно приравнять к доказательству теоремы Ферма, найденному в 1994 году.

Между тем, ходили слухи, что журнал Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences собирался опубликовать четыре статьи Мотидзуки, однако на тот момент редакторы издания это отрицали. Вскоре спор разгорелся вновь: некоторые математики сетовали, что статьи Мотидзуки, опубликованные в журнале института RIMS, по-прежнему остаются малопонятными.

В декабре 2017 года специалист в области математической физики Питер Войт (Peter Woit) из Колумбийского университета в Нью-Йорке написал в своем блоге, что принятие статьи к публикации в журнале института RIMS создаст ситуацию, которая «не имеет аналогов в истории математики: уважаемый журнал заявит, что он якобы проверил доказательство этой чрезвычайно известной гипотезы, а большинство специалистов в данной области математики тщательно изучали это доказательство и не смогли его понять».

Осторожно, брешь!

Слух о скорой публикации оказался необоснованным. В течение нескольких месяцев ситуация вокруг Мотидзуки стала меняться к худшему. Два немецких математика — Питер Шольце (Peter Scholze) из Боннского университета и Якоб Стикс (Jakob Stix) из Университета Гёте во Франкфурте — в частном порядке распространили опровержение доказательства abc-гипотезы, приведенного Мотиздукой; они сделали акцент на одну из важных частей доказательства, которую сочли ошибочной. Заметим, что Шольце пользуется большим авторитетом среди специалистов по теории чисел; в августе 2018 года он получил высшую награду по математике — Филдсовскую премию. В сентябре того же года Шольце и Стикс выступили с публичным заявлением: в статье, опубликованной в физико-математическом журнале «Кванта» (Quanta), говорилось, что оба ученых обнаружили некую «серьезную, неустранимую брешь». Журналу «Кванта» Шольце заявил следующее: «Я полагаю, что abc-гипотеза все еще не доказана. У любого остается шанс ее доказать».

Мотидзуки отмахнулся от критики в комментариях на своем сайте, указав, что два вышеупомянутых автора просто не поняли его работы. Однако несколько экспертов сообщили журналу «Нейчер» (Nature) следующее: большая часть математического сообщества считает, что критическое мнение по отношению к его работам закрепилось окончательно.

И официальное принятие статей к публикации вряд ли изменит это положение. «С тех пор, как я вместе с Якобом Стиксом написал ту статью, мое суждение никоим образом не изменилось», — заявил Шольце в интервью «Нейчер». (Стикс в электронном письме отклонил просьбу о комментарии.)

Однако Акио Тамагава на пресс-конференции подтвердил, что, несмотря на критику Шольца и Стикса, решение о публикации в журнале статей Мотидзуки не изменилось. По словам Тамагавы, некоторые комментарии по этому поводу, разумеется, будут также опубликованы, но никаких фундаментальных изменений не произойдет.

По словам Фолкера Мерманна (Volker Mehrmann), президента Европейского математического общества (EMS), которое публикует данный журнал от имени RIMS, если бы редакторы этого журнала «отмахнулись от критики» и опубликовали статью без серьезных изменений, то это негативно сказалось бы и на них, и на самом Мотидзуки. (Как сообщил Мерманн, EMS не осуществляет редакторский контроль над содержанием журнала RIMS; кроме того, сам Мерманн не знал о том, что публикация запланирована, до тех пор, пока не связался с «Нейчер».)

Правда, некий математик, предпочитающий оставаться анонимным, сообщил, что редакторы и рецензенты, работающие над статьями Мотидзуки, могли оказаться в почти патовой ситуации: «Если уж лучшие математики, несмотря на все старания, ничего не могут понять, то что говорить об каком-то одном редакторе!»

Длинный и извилистый путь к признанию

Математики подчас публикуют статьи в тех же журналах, которые и редактируют. По словам математика Хираку Накадзима (Hiraku Nakajima) из Института физики и математики Вселенной им. Кавли в Токио (он в своем время входил в редколлегию изданий RIMS), покуда авторы отказываются от процесса рецензирования, «данный случай не будет рассматриваться как нарушение правил, он будет считаться нормой». Фолкер Мерманн тоже подтверждает, что подобные случаи не будут нарушать принципы EMS.

По словам Касивара, Мотидзуки отказался от участия в процессе рецензирования и не участвовал ни в одном из заседаний редколлегии, обсуждавшей его статью. При этом Касивара заявил, что журнал и ранее публиковал статьи других членов редакции.

Статья Мотидзуки была принята 5-го февраля, но дата публикации еще не определена. «Это очень длинная рукопись. Мы планируем сделать спецвыпуск, поэтому не можем сказать, сколько времени это займет», — сказал Касивара.

В математической науке согласие журнала на публикацию статьи зачастую не является окончанием процесса критического осмысления этой самой статьи. Тот или иной значительный результат превратится в общепринятую теорему только после того, как всё экспертное сообщество математиков достигнет консенсуса в отношении правильности полученного результата. А это может произойти через много лет после официального опубликования статьи.

«И всё же, несмотря на все трудности, с которыми мы будем сталкиваться на протяжении всех этих лет, я все-таки думаю, что было бы здóрово, если б идеи Мотидзуки действительно оказались верны», — резюмирует математик Мин Ён Ким (Minhyong Kim) из Оксфордского университета в Великобритании.

Suomen Kuvalehti (Финляндия): в математике есть очень интересные и классные темы!

Согласно Международной программе по оценке успехов учащихся PISA, навыки учащихся в математике слабеют во всем мире. Уровень знаний по математике снизился сильнее, чем навыки чтения.

Понимание математики — вопрос прав человека, считает финский ученый

Оценка по математике будет иметь больший вес при поступлении в финские университеты — и не только на естественно-научные специальности.

Нововведение вызвало критику: это же нелепо, что при поступлении, к примеру, в лингвистический университет, математика будет приносить больше баллов, чем иностранный язык!

Финский профессор математики Самули Силтанен (Samuli Siltanen) прокомментировал ситуацию в Твиттере:

«Оценка по математике — замечательный показатель того, как студент будет справляться с учебой и современной рабочей обстановкой. Сложные предметы требуют усердной работы, и это стоит понять уже в лицее. Математическое мышление пригодится в любой сфере».

Этот твит набрал сотни лайков — как и гневных сообщений: опять нам навязывают математику! Способность к обучению вполне можно измерять успехами в истории или философии.

Самули Силтанен вовсе не хотел принизить значимость других дисциплин. Он искренне считает, что математика — отличный показатель способности человека к обучению в университете.

В позиции профессора, прославляющего математику, нет ничего удивительного. На занятиях в учебных заведениях и в своих ютьюб-видео он рассказывает, что математика связана со всем на свете, и советует молодежи изучать высшую математику. Он написал научно-популярную книгу о математике «Войди в мир математики» (Astu matematiikan maailmaan, 2019).

Самули Ситланен по-особенному относился к математике уже в детстве. Он увлекся предметом в начальной школе: тогда у него получалось высчитывать квадратные корни на листе в клетку с большей точностью, чем выходило на калькуляторе отца. Он был в полном восторге от степеней и логарифмов —за несколько лет до того, как их начали разбирать на уроке.

Преподаватели финских лицеев высказали обеспокоенность тем, что теперь многие учащиеся будут выбирать высшую математику в погоне за баллами, но не будут интересоваться ею искренне. На работу с такими учениками будет уходить много преподавательского времени. (Лицеи и профессиональные училища — последняя ступень среднего образования в Финляндии, аналог старшей школы — прим. перев.)

«Эти опасения вполне обоснованы», — говорит Силтанен.

Он считает математику предметом, требующим организованности и сосредоточенности, потому что в ней все новые темы строятся на базе предыдущих. Если отстанешь на дробях, то потом будут проблемы с производными.

«Я могу это себе представить: если когда-то что-то упустил в математике, то уроки становятся пыткой».

И все же он рад росту популярности математики. Хотя многие считают, что высшая математика — это только для избранных.

«С математикой связаны мифы о гениальности. Ужасно грустно, когда человек считает себя или своего ребенка не способным к математике. Способными к математике не рождаются».

Подачу математики в финских лицеях, по мнению Самули Силтанена, нужно немного изменить. Чуть меньше производных, больше примеров из практики. Больше матриц, которые могут пригодиться, к примеру, в расчетах прочности моста и проектировании освещения в компьютерных играх.

«Такие примеры могли бы заинтересовать большее количество людей».

х х х 

Полки от пола до потолка заставлены книгами. В кабинете Силтонена в Хельсинкском университете все книги — о математике.

Многие считают, что математика — то же, что и счет: с математикой мы знакомимся в школьном учебнике и потом вспоминаем эти знания, когда считаем.

Однако математика постоянно развивается.

«Математика — это очень практичная, живая наука», — говорит Самули Силтанен.

Если в античной Греции велись диспуты о том, как вычислить диагональ квадрата, то сейчас математики ищут формулы для определения формы Вселенной.

Силтанена долгое время привлекал теоретический мир математики.

В своей книге Самули Силтанен иронично пишет, что теоретическая работа принесла миру «массу информации, в которой большие кристальные горы и небесные шестеренки складываются так же гармонично, как кусочки обычной мозаики».

«На определенном этапе мир математики начал казаться мне избыточно идеальным».

В итоге Самули Силтанен начал работать с медициной. Например, математика особенно нужна, когда из 2D-рентген-изображений хотят сделать 3D-cнимок.

Самая важная тема в исследованиях Силтанена — электротомография головного мозга. Его исследовательская группа изучает способы, при помощи которых уже в машине скорой помощи можно было бы выяснить, что случилось с пациентом: церебральный венозный тромбоз или внутричерепное кровоизлияние. Симптомы у этих проблем одинаковы, а лечение — разное. Быстрый результат дал бы пациенту возможность выиграть дополнительное время.

Принцип электротомографии основывается на разной проводимости тканями электрических импульсов. При помощи безвредных низких разрядов через кожу можно сформировать картину того, в каком состоянии находится наш мозг.

Однако получить и обработать результаты такой процедуры — математическая задача не из легких.

«Очень необычные расчеты!»

х х х

В ютьюб-видео Самули Силтанен в панаме и солнечных очках пытается прихлопнуть как можно больше комаров. От разговора об очень большом количестве комаров он подводит зрителей к математическим формулам.

Силтанен делает видео для своего научного ютьюб-канала Samu вот уже два года. У него и сейчас есть около двадцати новых идей для «увлекательных современных сюжетов».

Самули Силтанену с детства нравилось не только заниматься расчетами, но и говорить о математике. Он хочет просвещать и вдохновлять.

В 2019 году он получил финскую премию Снелльмана за труды в просвещении и распространении научных данных. (Йохан Снелльман, Johan Snellman — финский философ, писатель, государственный деятель XIX века, прим. перев.)

«В математике есть очень интересные и классные темы, о которых мало кто знает. Когда сам узнаешь что-то ужасно увлекательное, хочется рассказать об этом другим — так же, как музыканту хочется сыграть какие-нибудь произведения».

Сейчас популяризацией науки занимаются многие. На канал Numberphile британца Брейди Харана (Brady Haran) из Австралии уже подписано три миллиона человек, на канал 3blue1brown американца Гранта Сандерсона (Grant Sanderson) — два миллиона. Вилле Айтлахти (Ville Aitlahti), который преподает математику в финском муниципалитете Туусула, придумал новый способ преподавать математику, и молодежь была благодарна ему за эти занятия.

х х х

Математика повсюду. Математические формулы можно найти в движении автомобилей и полете футбольного мяча. Самули Силтанен хочет, чтобы люди их заметили.

Иногда он приходит в школы и начинает говорить с детьми о том, благодаря чему Siri в смартфоне или навигатор могут с нами «говорить». Для воспроизведения компьютерного звука ученые изучали математическую инверсию многие десятилетия.

«Еще несколько лет назад я думал, что популяризация науки — это легко. Но это не так. Объяснение темы в таком формате — так же тяжело, как написание научной статьи».

На запись девятиминутного видео ушло десять часов, на подготовку — больше десяти часов. Больше всего времени уходит на обдумывание, как объяснить тему интересно, легко и не слишком сильно отклоняясь от главного.

Самули Силтанен любит фотографировать пауков. На даче в Ханкасалми он кладет пауков в стаканчики из-под йогурта и делает фотографии в режиме макросъемки. При помощи фотографии он часто рассказывает о математике. Математика есть даже в фильтрах для селфи.

х х х

Да для чего нужна эта ваша математика?

Преподавателям математики вечно задают один и тот же вопрос. Пользователям смартфонов не обязательно знать формулы, которые скрываются за работой программ.

Понимание математики — вопрос прав человека, говорит Силтанен.

«Так человек не отделяется от мира, в котором он живет. При желании он может в чем-то разобраться и изменить будущее».

Понимание и непонимание математики и естественных наук оказывает большое влияние на общество.

Модель соотношения распространения кори и охвата населения прививками тщательно просчитана.

«Некоторые говорят, что прививаться не надо, но, опираясь на естественно-научные и математические базовые знания, можно сказать, что это не так. Быть не привитым — опасно для жизни и безответственно», — считает Самули Силтанен.

Изменение климата прогнозируется по математическим моделям, в которых учитываются происходящие в воздухе химические и физические явления. Люди нередко путают погоду и климат: удивляются, как ученые могут предрекать изменение климата через сто лет, а прогноз погоды на пять дней может оказаться неправильным.

Самули Силтанен качает головой.

«Учитываются результаты лучших исследований за последние 150 лет, все проверено много раз. Невероятно: без изучения происхождения данных и прогнозов люди готовы подвергнуть их сомнениям».

х х х

Согласно Международной программе по оценке успехов учащихся PISA, навыки учащихся в математике слабеют во всем мире. Уровень знаний по математике снизился сильнее, чем навыки чтения.

«Конечно, это о чем-то говорит и вызывает беспокойство. Дети читают меньше книг, чем раньше, и, вероятно, решают меньше задач. Эти действия требуют сосредоточенности», — рассуждает Самули Силтанен.

Решать задачи с ручкой и бумагой тоже очень важно. И хотя все можно посчитать на калькуляторе, счет в уме позволяет понять больше — в том числе и в повседневных вопросах.

«Когда мы организовываем праздник для фирмы из ста человек, и закуски обходятся по 30-50 евро на сотрудника, сразу можно прикинуть, сколько нулей будет в счете».

По мнению Самули Силтанена, у средней школы есть замечательная возможность объединить математику с другими предметами. Например, разницу между средним арифметическим и медианой можно наглядно показать и применить в обработке фотографий на компьютере.

Однако в идее объединения учебных предметов есть и свои риски. В случае неудачи базовые вопросы останутся без внимания.

«Некоторые вещи все же следует постигать просто за счет усидчивости и сосредоточенности».

Почему страны Азии успешнее в математике?

В докладе, который Организация экономического сотрудничества и развития (ОЭСР) публикует один раз в три года в рамках Международной программы по оценке образовательных достижений учащихся (PISA 2016), страны Азии традиционно занимают первые строчки. Согласно результатам исследования, которое изучает уровень образования школьников 15 лет в 64 странах, представляющих 80% мировой экономики, Турция заняла 45-е место по математике, 37-е — по пониманию прочитанного и 41-е — по естественнонаучным знаниям.

В математическом направлении первыми стали Шанхай, Сингапур, Гонконг и Южная Корея; в чтении Шанхай, Гонконг и Южная Корея поделили первые три места; в естественнонаучных знаниях Шанхай, Эстония и Гонконг вошли в первую тройку. Турция по всем направлениям оказалась ниже среднего по ОЭСР уровня.

Эксперты, проанализировавшие доклад PISA, отметили, что обучение математике — это не проблема умственных способностей, а проблема системы и методов. И секрет азиатских тигров, которые с 1990-х годов никому не уступают первенство в международной лиге образования, таится именно в системе. Полученные результаты исследования показывают, что образовательные методы, которые учителя используют на учебных занятиях, играют самую важную роль.

Становится понятно, что в странах с успешными результатами в математике преподаватели уделяют намного больше внимания элементарной арифметике, а не математическим понятиям; заметно большее значение придают счету в уме; используются базовые учебники; предпочтение отдается образовательному процессу в классах с большим числом учеников, а не в малых группах.
В книге «География мысли» Ричарда Нисбетт (Richard Nisbett) проводит сравнение между восточными и западными обществами и сопровождает свои рассуждения сведениями о том, как и почему отличаются воззрения жителей Востока и Запада. Нижеприведенный фрагмент этой книги может дать ответ на вопрос, почему страны Азии успешны в математике.

«Дети, которые учатся читать и писать в Америке, обязательно начинают с учебника „Дик и Джейн“ („Dick and Jane“). На первой странице этого учебника изображен маленький мальчик, бегающий на зеленой лужайке, картинке сопутствуют такие строки: „Смотри, Дик бегает. Смотри, Дик играет. Смотри, Дик бегает и играет“. Согласно западному менталитету, это самая естественная базовая информация, которая должна быть передана детям. На первой странице китайского учебника для начинающих обучаться грамоте показан маленький мальчик, который сидит на плечах мальчика постарше. „Старший брат заботится о младшем брате. Старший брат любит младшего брата. Младший брат любит старшего брата“. Когда ребенок впервые встречается с печатными словами, важно передать не индивидуальное действие, а отношения между людьми и особенно между братьями.

В отличие от азиатской практики, которая учит детей гармонично смешиваться с окружающими, американские дети ходят в школы, где каждый ребенок на один день может стать VIP. Японских детей учат практиковать самокритику, чтобы они могли уметь развивать отношения с другими людьми и обрести навыки решения проблем. Позиция перфекционизма через самокритику сохраняется на всю жизнь. Никто не считается профессионалом, пока не проработал в своей профессии десять лет.

В то время как выходцы с Запада обладают зашкаливающей самоуверенностью и крайне довольны собой, жители Азии продолжают стремиться к самосовершенствованию. В ходе одного эксперимента можно было наблюдать, что канадские учащиеся дольше работали над предложенным им заданием, если оно у них получалось, а японцы — если терпели неудачу. Жители Запада могут добиваться успеха в очень немногих делах — тех, которые у них получилось хорошо начать. При этом жители Востока больше склонны получать навыки по всем вопросам и использовать любую возможность для самосовершенствования.

В ходе другого эксперимента специалисты по психологии развития, посетив дома американских и японских семей, попросили родителей поиграть с детьми так, как они это обычно делают. Американки вдвое чаще японок использовали изображения объектов. Японки вдвое чаще американок прибегали к ситуациям, обучающим нормам вежливости (сочувствие и приветствие, например). Беседа американки с ребенком была такой: „Это машина. Ты видишь машину? Тебе нравится? У нее красивые колеса“. Японка говорила: „Вот дрынь дрынь. Я даю это тебе. А теперь дай это мне. Спасибо“. Если американские дети узнают, что мир — это место, в котором много разных объектов, то для японских детей мир — это в основном отношения.

На Западе ребенок с плохими знаниями математики, вероятнее всего, будет считаться лишенным способностей к математике и даже, возможно, к обучению. На Востоке же предполагается, что такой ребенок должен усерднее трудиться, или же что учитель должен работать больше, а может быть, нужно изменить среду обучения».